Cách chứng minh số vô tỉ

**firedrake** Thu Oct 08, 2009 6:33 pm

Tình hình là hôm nay đi học bổ túc văn hóa....à lộn, bồi dưỡng học sinh giỏi thấy có bài chứng minh số vô tỷ mà cóc hiểu gì...Nên bây giờ copy lên đây cho mọi người xem (có khi mọi người biết hết rồi):

Chứng minh căn 2 là số vô tỷ :
1. Giả sử rằng căn 2 (C2) là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a / b = C2 .
2. Như vậy C2 có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọn được nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)2 = 2.
3. Từ (2) suy ra a2 / b2 = 2 và a2 = 2 b2.
4. Khi đó a2 là số chẵn vì nó bằng 2 b2 (hiển nhiên là số chẵn)
5. Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a2 là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).
6. Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.
7. Thay (6) vào (3) ta có: (2k)2 = 2b2 4k2 = 2b2 <=> 2k2 = b2.
8. Vì 2k2 = b2 mà 2k2 là số chẵn nên b2 là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn (lí luận tương tự như (5).
9. Từ (5) và ( Cool

ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).
Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận C2 là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận C2 là số vô tỉ.